Kugel/Kreis als exemplarischer Fall für Verformung eines beliebigen Körpers!

Habe folgendes Problem: Annahme - Kugel wird in Elastomer gepresst, daraus folgt, daß die gleichmäßig aufgeteilten Gitternetzflächen mit unterschiedlich großem Druck belastet werden (siehe Bild A, Querschnitt der Kugel). Auf die Einzelflächen wirkt die gleiche Kraft, Kraftausgleich. Die Kugel wurde in gleichmäßige Abschnitte, daraus ergeben sich unterschiedlich große Gitternetzflächen, eingeteilt, die alle die gleiche Bogenlänge, pro Flächensegment haben. Flächenberechnung, siehe Bild B!!! Für FEM-Programme ist damit eine gesetzmäßige Vernetzung und nicht wie bisher willkürlich, zwingend (Siehe weiter Unten!).

Bei der Biegung eines einseitig, eingespannten Stabes, mit Krafteinwirkung am Stabende (Bild 1), ergibt sich ebenfalls eine Verformung f bzw. h, die einem Kugel-, Kreisausschnitt gleicht (Bilder 1 und 2). Diese Verformungsart ist exemplarisch für alle Körperformen, da Kugel/Kreis die geringste Oberfläche/Umfang bei gegebenem Volumen/Fläche hat, dies ist ein physikalisches Gesetz. Vorgegeben bei dieser Biegespannungs-, Druckbelastung ist immer die einwirkenden Kraft F, die Stablänge l bzw. s/2, die eine Funktion von F sind, die Stablänge nimmt ja Minimal mit zunehmender Belastung ab, l=l(F), das axiale Trägheitsmoment Ix, sowie das Elastizitätsmodul des eingesetzten Stabmaterials. Die an die Kugel-/Kreisform gelegten Tangenten (Bild A) sind ein Ausdruck für die Biegung-, Druckbelastung des Körpers. Es wird noch gezeigt, daß Diese die innere Funktion der Komposition des Gesamtradius der Kugel/Kreis darstellen. Der Anstieg der Tangenten ergibt sich zu m=2x! Der Gesamtradius ergibt sich für ein Flächensegment zu (Bild2) :

rges=(4h^2+s^2)/(8h), dies ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras

dies ist die Komposition zweier Gleichungen: F(x)=(h^2+s^2)/(4h) und g(x)=2h (....siehe Tangentenanstieg), denn

F(g(x))=(4h^2+s^2)/(8h)=rges

h=f=maximale Durchbiegung: h=M*l^2/(2*E*Ix), mit M=Biegemoment=F*l, Ix=axiales Trägheitsmoment des Stabes und E=Elastizitätsmodul des Materials und Stablänge s/2 bzw. l (s/2=l=Funktion von F)

Damit lässt sich der Radius der Kugel, Kreises als Ausdruck der anliegenden Belastung bestimmen. Je größer der Gesamtradius wird, desto geringer ist die anliegende Kraft, bei konstanten Materialparametern und l! Je größer der Gesamtradius wird, desto größer ist, bei einer veränderlichen Stablänge, l bzw. s/2!

Bei einem konstanten rges ist F, die Kraft umso größer, je kleiner die Stablänge wird.

Man beachte, daß F bei meinen Ausführungen einmal eine Kraft und zugleich auch eine äußere Funktion bezeichnet..., nicht Verwechseln!

rges lässt sich auch als Integral darstellen, denn F(g(x))=Integral f(g(x))*g'(x) dx, (x ist hier h)

F(g(x))=(4x^2+s^2)/(8x) g(x)=2x F(x)=(x^2+s^2)/(4x) damit ergibt sich f(x)=(x^2-s^2)/(4x^2) und g'(x)=2

f(g(x))=(4x^2-s^2)/(16x^2)

Integral f(g(x))*g'(x) dx= Intelgral 2*(4x^2-s^2)/(16x^2) dx=(4x+s^2/x)/8=(4x^2+s^2)/(8x)=(4h^2+s^2)/(8h)

Vollständigkeitshalber kann gesagt werden, daß das Bogenmaß sich aus b=2*pi*r*ß/360° ergibt!

Die wichtigste Erkenntnis aus diesen Ausführungen ist, daß:

........sich für die vorliegende Spannung die Biegelinie und nicht die Momentenlinie (bei Biegung) verantwortlich zeigt (eine quadratische Gleichung, die durch den Anstieg ihrer Tangenten hinreichend genau beschrieben werden kann)!

Komposition der Gleichung einer numerischen Exzentrizität am Beispiel einer Ellipse!

numerische Exzentrizität: y₁^2=2*p*x₁-(1-ß^2)*x₁^2 mit p=Streckungsfaktor und ß=num. Exzentrizität

Ellipsengleichung: y₂^2/b^2+x₂^2/a^2=1 , daraus folgt: y₂=+-((1-x₂^2/a^2)*b^2)^0.5

Komposition der Gleichung für die numerische Exzentrizität:

es soll gelten: 2px-(1-ß^2)*x^2=y₁^2(y₂)

2px-(1-ß^2)*x^2=2p*(((1-x^2/a^2)*b^2)^0.5)^1-(1-ß^2)*(((1-x^2/a^2)*b^2)^0.5)^2

vier Lösungen für x, x₁=-a*b/(a^2+b^2)^0.5, x₂=a*b/(a^2+b^2)^0.5, x₃=...., x₄=....

x₁_/₂=h_c eines rechtwinkligen Dreiecks

Fläche rechtwinkliges Dreieck:

A=1/2*a*b=1/2*c*h_c, mit c=(a^2+b^2)^0.5

h_c=a*b/(a^2+b^2)^0.5

Damit gibt h_c hinreichend genau die Charakteristik der Ellipse durch das in Ihr befindliche, rechtwinklige Dreieck an!

bei einem Kreis erhalte ich für x₁=-r₁/2^0.5 usw., Satz des Thales: sin(45°)=cos(45°)=x₁/r=1/2^0.5

bei einem Kreis gilt für die numerische Exzentrizität: ß=0

bei einer Ellipse gilt für die numerische Exzentrizität: 0<ß<1

Zusammenfassend kann gesagt werden, daß jede Funktion, durch eine Komposition, numerisch, exzentrisch dargestellt werden kann.

Der von mir aufgezeigte Rechenweg liefert die charakteristischen Merkmale des jeweiligen geometrischen Objektes.

Normalisierung der Lautstärke in Echtzeit!

Normalisierung der Lautstärke bei einem Brennprogramm (zb.):

1. Mittelwert der Lautstärke der Musikdateien wird ermittelt

2. ermittelter Wert wird mit der Vergleichslautstärke abgeglichen

3. alle Lautstärkenwerte der Musikdateien werden mit dem ermittelten Vergleichswert multipliziert

in Echtzeit, zb. Lautstärke Telefon:

Problem - kein mittlerer Wert für die Lautstärke (vorausschauend) ermittelbar, so wie dies bei der Normalisierung bei einem Brennprogramm zb. möglich ist....

Lösungsansatz:

Anfangslautstärke wird wie bei der Normalisierung eingestellt, menschliches Gehör, mittlere Lautstärke

Lautstärkebereich mit einer oberen - und unteren Schranke, siehe Bild ß=0.5

---je höher die Lautstärke am Anfang angehoben werden muß, desto niedriger ist die obere prozentuale Schranke am Anfang---

---je niedriger die Lautstärke am Anfang angehoben werden muß, desto höher ist die obere prozentuale Schranke am Anfang---

der Toleranzbereich (Hörbereich des Menschen), bleibt bei beiden Annahmen gleich

Beispiel Gespräch:

y-Achse: Lautstärke in Prozent, x-Achse: Zeit in Sekunden

obere Schranke, untere Schranke, a=Anfangslautstärke des Telefongespräches

y-Achse: Lautstärke in Prozent, x-Achse: Lautstärkenbereich der Telefongespräche nach der Normalisierung (a, rot und b, hellblau)

b-a=0.15 Unterschied

2a-1a=2b-1b=ß=0.5, Toleranzbereich

1b-1a=2b-2a=0.15

Anfangslautstärke a ist größer als Anfangslautstärke b

damit erhält man die gleiche Lautstärke bei den Fällen a und b mit der jeweiligen unterschiedlichen Anfangslautstärke.....